１図 ２ポートネットワーク
電磁エネルギの移動は、すべて電磁波の伝搬として実現されますが、 電磁波は回路の特性インピーダンスの一様性が失われた場所で反射しますから、 回路内には無数の反射波が存在し、 電磁エネルギの分布とその時間的変化はかなり複雑です。
しかし、周波数が低く、 部品の大きさが信号波形を構成する周波数成分の波長に比べて十分小さい場合は、 反射波の影響は信号が変化する時間に比べて、 極めて短時間で終りますから、 定常状態としての部品内部の電圧と電流が一様になり、 その電圧、電流の比としての「インピーダンス」で 部品固有の特性を表現することができます。
ところが、高周波の部品や回路では、 部品内部の電磁波の伝搬速度に比べて部品の大きさが無視できませんから、 部品内部に於ける電磁波の進行波と反射波の干渉の一様性が失われ、 定常状態の電圧と電流とその比が部品固有の定数ではなくなります。 つまり、 集中回路で有効な進行波と反射波の合計としての電圧・電流を基本にした 「インピーダンス」概念が使えなくなって、 進行波と反射波を分離して扱う分布定数回路の「特性インピーダンス」として 「インピーダンス」概念を回復せざるを得ないのです。
当然、この分布定数回路部品を組み合わせた回路では、 電磁波の伝搬と反射が基本になるわけで、 集中定数の回路部品
１図 ２ポートネットワーク
また、この問題は、当然、回路特性の測定にも反映するはずですが、例えば、 低周波では、伝送線路のような２ポート回路で１図の電圧・電流関係、 つまり回路の特性 を表すのに、下記のようなパラメータが使われます。(注２)
これらの いずれのパラメータも終端短絡か終端開放で簡単に測定できる ことに注意 してください。例えば、Y21 は終端短絡で V2=0 にすれば、Y21=I2/V1 となります。
[ V1 ] [ A B ] [ V2 ] [ ] = [ ] [ ] (1.1) [ I1 ] [ C D ] [ I2 ]
[ V1 ] [ Z11 Z12 ] [ I1 ] [ ] = [ ] [ ] (1.2) [ V2 ] [ Z21 Z22 ] [ I2 ]
[ I1 ] [ Y11 Y12 ] [ V1 ] [ ] = [ ] [ ] (1.3) [ I2 ] [ Y21 Y22 ] [ V2 ]
また、トランジスタ回路のの場合は、ＹパラメータとＺパラメータを混ぜ合わせた ｈパラメータ(h-parameter)が使われますが、 周波数が高くなるとこれらいずれも測定ができません 。
理由はリード線のインダクタンスや端末キャパシタンスの影響が無視できなくなって、 正確な終端短絡状態(インピーダンス 0)や終端開放状態(インピーダンス無限大) が実現できない ためです。例えば、Z11 を求めるのに終端開放にして I2 を 0 に しようといった方針が成り立ちません。つまり、 100 % 反射を使った測定は精度的に無理なのです。また、トランジスタの ような能動回路では、短絡や開放が回路の動作を不安定にしたり、動作不能にした りしますから、原理的に無理になります。
ところが、負荷のインピーダンスをネットワークの特性インピーダンスに 一致させることで、 無反射状態は比較的簡単に実現できます から、高周波で基本的な役割を 果たす進行波と反射波の概念をもとにＳパラメータ (Scattering parameter)を考えるとこの問題がきれいに解決します。
２図 ２ポートネットワークとＳパラメータ
１図の回路で２つの入射波(incident wave) a1, a2 と２つの 反射波(reflected wave) b1, b2 を考え(注３)、 入射波と反射波の関係を次のようにあらわします。
[ b1 ] [ S11 S12 ] [ a1 ] [ ] = [ ] [ ] (2.1) [ b2 ] [ S21 S22 ] [ a2 ]つまり
b1 = S11*a1 + S12*a2 (2.2) b2 = S21*a1 + S22*a2 (2.3)です。
この、ＳパラメータS11, S12, S21, S22 のすべてが無反射終端で測定できることに注意してください。 例えば、Zl=Z0 にすれば a2=0 ですから、S11=b1/a1 になります。
多くの場合、Ｓパラメータはネットワークアナライザを使って測定しますが、 S11 と S22 は電圧反射係数そのものですから、インピーダンス測定から計算する こともできますし、S21 と S12 は伝送特性(減衰・位相特性)そのものですから、 発振器とオシロスコープの組み合わせなどで測定することもできます。
なお、上記の定義から
abs(a1)^2 = ネットワークの入力ポートに入射する電力
= 電源(インピーダンス Z0)から供給可能な電力
abs(a2)^2 = ネットワークの出力ポートに入射する電力
= 負荷から反射する電力
abs(b1)^2 = ネットワークの入力ポートから反射する電力
= 電源(インピーダンス Z0)から供給可能な電力とネットワークに
供給された電力の差
abs(b2)^2 = ネットワークの出力ポートから反射する電力
= 負荷に入射する電力
は明らかですから、S11, S12, S21, S22 の物理的意味
は
abs(S11)^2 = (ネットワークの入力端から反射される電力)/(ネットワークの入力端に入射する電力) abs(S22)^2 = (ネットワークの出力端から反射される電力)/(ネットワークの出力端に入射する電力) abs(S21)^2 = 電源と負荷のインピーダンスが Z0 のときの電力利得 abs(S12)^2 = S21 と逆方向の電力利得になります。
３図 従属回路
測定が簡単で物理的意味が明解なのがＳパラメータの利点ですが、電子回路で頻繁に 現れる回路の従続接続に対する合成Ｓパラメータを求めるのは面倒で、 この場合は下記のように 定義されたＴパラメータを使うのが普通です。
[ b1 ] [ T11 T12 ] [ a2 ] [ ] = [ ] [ ] (3.1) [ a1 ] [ T21 T22 ] [ b2 ]
Ｔパラメータを使うと３図の従属接続回路には下記の関係がありますから、
[ b1 ] [ T11 T12 ][ T11' T12' ] [ a2' ] [ ] = [ ] [ ] (3.2) [ a1 ] [ T21 T22 ][ T21' T22' ] [ b2' ]合成Ｔパラメータは行列の乗算で簡単に計算することができます。つまり、
[ T11 T12 ][ T11' T12' ]
T = [ ][ ] (3.2)
[ T21 T22 ][ T21' T22' ]
ここに
T = 合成Ｔパラメータ
になります。
ＳパラメータとＴパラメータの関係は次のとおりです。
[ T11 T12 ] [ -(S11*S22-S12*S21)/S21 S11/S21 ] [ ] = [ ] (3.3) [ T21 T22 ] [ -S22/S21 1/S21 ] [ S11 S12 ] [ T12/T22 (T11*T22-T12*T21)/T22 ] [ ] = [ ] (3.4) [ S21 S22 ] [ 1/T22 -T21/T22 ]
４図 ２ポートネットワーク
Ｓパラメータによる回路計算の方法 を理解するために、４図の回路で b2 を求める ことを考えます。つまり、送受端を終端したときの伝送特性です。
まず、Ｓパラメータの定義から、(2.2), (2.3) が成り立ち、負荷における反射係数 を Γl とすれば a2 = Γl*b2 ですから、これを (2.3) に代入すれば
b2 = S21*a1/(1 - S22*Γl) (4.1)になります。一方、送端側の反射係数を Γs とすれば
bs = Vs*sqrt(Z0)/(Zs+Z0)として、a1 = bs + Γs*b1 ですから、これを (2.2) に代入して
a1 = bs + Γs*(S11*a1 + S12*Γs*b2) (4.2)(4.1), (4.2) から
b2 = S21*bs/((1 - Γs*S11)*(1 - S22*Γl) - Γs*Γl*S12*S21)) (4.3)で伝送特性がます。Γl と Γs はネットワークアナライザ等で直接測定すること もできますし、インピーダンス測定から次のように計算することもできます。
Γl = (Zl - Z0)/(Zl + Z0) Γs = (Zs - Z0)/(Zs + Z0) ここに Z0 = ネットワークの特性インピーダンスこのように、Ｓパラメータを使った計算では電圧、電流でなく、 接続点の反射係数を使います。
４図の回路を次のようなシグナルフローグラフ に変換すると計算は極めて直観的でわかりやすくなります。
５図 ４図の回路のシグナルフローグラフ
回路からシグナルフローグラフへの変換規則は次のようになっています。
接点(node) an は n 番目のポートへの入射波、接点 bn は n 番目のポートから 出て行く反射波を表します。Ｓパラメータは枝の両端のノードの比ですから、 枝の起点になる接点の値に枝のＳパラメータの値を掛ければ枝の終点になる接点の値に なります。
フローグラフの計算方法にはいくつかの方法がありますが、よく使われるのは
トポグラフィカル(topographical)な方法と
メイソンの非接触ループ法(Mason's nontouching
loop method)と呼ばれるもので、前者は、
ネットワーク全体の応答は、波が通り抜けられることのできる全てのパスの和になる
という、量子力学のFeinman 経路積分とよく似たアプローチです。
パス(path)は入力節点から出力節点への経路
を意味します。
例えば、(4.1) 式の b2 に関するパスは、
1) a1 -> S21 2) a1 -> S21 -> Γl -> S22 3) a1 -> S21 -> Γl -> S22 -> Γl -> S22 4) a1 -> S21 -> Γl -> S22 -> Γl -> S22 -> Γl -> S22 ..と無限個の反射の総和ですから、この無限級数の和を計算して
b2 = a1*S21 + a1*S21*Γl*S22 + a1*S21*(Γl*S22)^2 + a1*S21*(Γl*S22)^3 + ..
= a1*S21/(1 - S22*Γl)
になります。同様に、(4.2) の a1 のパスは
1) bs 2) a1*S11*Γs 3) b2*Γl*S12*Γsの３つですから、
a1 = bs + a1*S11*Γs + b2*Γl*S12*Γs
= bs + Γs(a1*S11 + b2*S12*Γl)
と計算できます。
また、同じように b1 を求めると
b1 = a1*S11 + a1*S21*S12*Γl/(1 - S22*Γl)
= a1*(S11 + S21*S12*Γl/(1 - S22*Γl))
ですから、反射係数 Γl で終端したときの合成回路の S11 が
S11 + S21*S12*Γl/(1 - S22*Γl))になることがわかります。
前記の手続きを落ちなく組織的に行うには、下記の規則を使います。
規則４はなかなか面白い使いかたができて、例えば、下記のように使うと計算は とても簡単になります。
次に、先程の５図を書き直した次のフローグラフの伝達関数を求めて見ましょう。
まず、b1 と a2 について規則４を適用して、
規則１を適用して、
規則３と規則４を適用して、
規則４を適用して、
規則１を適用して、
規則３を適用して、
最後に規則１を適用して、
このように組織的に簡略化してゆくと間違いが減ります。
メイソンの非接触ループ法(Mason's nontouching loop method)というのは、システムの任意の２つの接点間の伝達関数を求めるための 面白い規則で、下記のようになります。
T = (1/Δ)*ΣTk*Δk
k
ここに
T = 伝達関数 = (出力数接点の値)/(入力接点の値)
Tk = k 番目の前進パスの利得
Δ = 1
- Σ(全ての独立ループの利得)
+ Σ(全ての２つの非接触ループの組み合わせについての利得の積)
- Σ(全ての３つの非接触ループの組み合わせについての利得の積)
+ ..
Δk = k 番目の前進パスに接触しない Δ の値
ここで、パス
(path)というのは連続した枝、前進パス
(forward path)は入力
接点から出力接点へのパスで同じ接点を２度以上通らないものを指します。パスの
利得
(gain)はパスに沿った全ての枝の値の積です。
ループ(loop)は出発点になった接点に戻るような
パスで、同じ接点を２度以上通らないものです。
例えば５図のフローグラフを考えると、E から b2 への前進パスは１つだけで利得 は S21 になります。E から b1 へのパスは２つあって、その利得はそれぞれ S21*Γl*S12 と S11 です。独立したループは３つで、２つの非接触ループの組み合 わせは１つだけ、３つ以上の非接触ループの組み合わせはありませんから、この ネットワークのΔの値は
Δ = 1 - (S11*Γs + S21*S12*Γl*Γs + S22*Γl) + S11*S22*Γl*Γsになり、bs から b2 への伝達関数は
b2/bs = S21/Δ
= S21/((1-S11*Γs)(1-S22*Γl)-S21*S12*Γl*Γs)
と (4.3) と同じ結果が得られます。
以下、同じように非接触ループ法を使ってよく必要になる特性を計算すると、 次のようになります。
任意の送端、受端インピーダンスに対する電力利得は
Gt = (負荷に伝送される電力)/(電源から供給可能な電力) = Pl/Pa Pl = 入射電力 - 反射電力 = abs(b2)^2*(1-abs(Γl)^1) Pa = abs(E)^2/(1-abs(Γs)^2)と (4.3) から
Gt = abs(b2/E)^2*(1-abs(Γs)^2)*(1-abs(Γs)^2)
= abs(S21)^2*(1-abs(Γs)^2)*(1-abs(Γl)2)
/abs((1-S11*Γs)(1-S22*Γl)-S21*S12Γl*Γs)^2
任意の終端インピーダンスで Zs=Z0 に於ける入力反射係数は
S11' = b1/a1
= (S11*(1-S22*Γl)+S21*S12*Γl)/(1-S22*Γl)
= S11 + S21*S12*Γl/(1 - S22*Γl)
任意の終端、送端インピーダンスに対する電圧利得は
V1 = (a1+b1)*sqrt(Z0) = Vi1+Vr1 V2 = (a2+b2)*sqrt(Z0) = Vi2+Vr2 a2 = Γl*b2 b1 = S11'*a1から
V2/V1 = b2*(1-Γl)/a1/(1+S11')
= S21*(1+Γl)/(1-S22*Γl)/(1+S11')
高周波に於ける回路特性を表現するパラメータとしては Ｓパラメータを使うのが普通ですが、 回路計算については、以下に述べるＳパラメータとＺパラメータ、Ｙパラメータ、 hパラメータ等の変換公式を使って、 低周波で使われる標準的な手法を利用することもできます。
特に、ＺパラメータとＳパラメータの関係を伝送線路理論の反射係数と比べると、 Ｓパラメータの意味がよくわかりますので、 ご注目ください。
以下の変換式では、Z11, Z12, Z21, Z22, Y11, Y12, Y21, Y22, h11, h12, h21, h22 のすべてが Z0 で規格化されていて 、 実際のパラメータ Z11', Z12', Z21', Z22', Y11', Y12', Y21', Y22', h11', h12', h21', h22' の値は次のようになることに注意してください。
Z11'=Z11*Z0, Z12'=Z12*Z0, Z21'=Z21*Z0, Z22'=Z22*Z0 Y11'=Y11/Y0, Y12'=Y12/Y0, Y21'=Y21/Y0, Y22'=Y22/Y0 h11'=h11*z0, h12'=h12, h21'=h21, h22'=h22/z0
２図の電源側の電圧と電流を v1, i1、負荷側の電圧と電流を v2 と i2 とすれば、
[ v1 ] [ a1 ] [ b1 ] [ ] = [ ] + [ ] [ v2 ] [ a2 ] [ b2 ] [ i1 ] [ a1 ] [ b1 ] [ ] = [ ] - [ ] [ i2 ] [ a2 ] [ b2 ]の関係がありますから、これらの行列とベクトルを
[ v ] = [ a ] + [ b ] (6.1) [ i ] = [ a ] - [ b ] (6.2)と簡潔に書くことにして、Ｚ行列が存在すれば、
[ v ] = [ z ] * [ i ] (6.3)(6.3) に (6.1) と (6.2) を代入して整理すれば、 [ 1 ] を単位行列として、
([ z ] + [ 1 ]) * [ b ] = ([ z ] - [ 1 ]) * [ a ] (6.4)
一方、(2.1) は
[ b ] = [ S ] * [ a ] (6.5)ですから、(6.4) と (6.5) を比較すれば、
[ S ] = inv([ z ] + [ 1 ]) * ( [ z ] - [ 1 ]) (6.6)が得られます。
ここで、(6.6) 式を１端子対の伝送線路に於ける反射係数の式、
γ = (Z - 1) / (Z + 1) ここに、 γ = 反射係数 Z = 規格化負荷インピーダンス (= 負荷インピーダンス / 線路の特性インピーダンス)と比べてみると、 伝送線路理論の反射係数の多次元拡張になっている ことがよくわかると思います。 これがＳパラメータの意味です。
(6.6) 式の個々の成分を計算すると、下記の変換公式が得られます。
S11 = ((Z11-1)*(Z22+1)-Z12*Z21)/((Z11+1)*(Z22+1)-Z12*Z21) S12 = 2*Z12/((Z11+1)*(Z22+1)-Z12*Z21) S21 = 2*Z12/((Z11+1)*(Z22+1)-Z12*Z21) S22 = ((Z11+1)*(Z22-1)-Z12*Z21)/((Z11+1)*(Z22+1)-Z12*Z21) Z11 = (1+S11)*(1-S22)+S12*S21/((1-S11)*(1-S22)-S12*S21) Z12 = 2*S12/((1-S11)*(1-S22)-S12*S21) Z21 = 2*S21/((1-S11)*(1-S22)-S12*S21) Z22 = (1+S22)*(1-SR11+S12*S21/((1-S11)*(1-S22)-S12*S21)
以下、同様に他のパラメータとの関係を求めると、 次のようになります。
S11 = ((1-Y11)*(1+Y22)+Y12*Y21)/((1+Y11)*(1+Y22)-Y12*Y21) S12 = -2*Y12/((1+Y11)*(1+Y22)-Y12*Y21) S21 = -2*Y21/((1+Y11)*(1+Y22)-Y12*Y21) S22 = ((1+Y11)*(1-Y22)+Y12*Y21)/((1+Y11)*(1+Y22)-Y12*Y21) Y11 = ((1+S22)*(1-S11)+S12*S21/((1+S11)*(1+S22)-S12*S21) Y12 = 2-*S12/((1+S11)*(1+S22)-S12*S21) Y21 = 2-*S21/((1+S11)*(1+S22)-S12*S21) Y22 = ((1+S11)*(1-S22)+S12*S21/((1+S11)*(1+S22)-S12*S21)
S11 = ((h11-1)*(h22+1)-h12*h21)/((h11+1)*(h22+1)-h12*h21 S12 = 2*h12/((h11+1)*(h22+1)-h12*h21 S12 = -2*h21/((h11+1)*(h22+1)-h12*h21 S22 = ((1+h11)*(1-h22)-h12*h21)/((h11+1)*(h22+1)-h12*h21 h11 = ((1+S11)*(1+S22)-S12*S21)/((1-S11)*(1+S22)+S12*S21) h12 = 2*S12)/((1-S11)*(1+S22)+S12*S21) h21 = -2*S21)/((1-S11)*(1+S22)+S12*S21) h22 = ((1-S11)*(1-S22)-S12*S21)/((1-S11)*(1+S22)+S12*S21)
「回路理論」の教科書で取り扱われるのが普通です。例えば、
注１- Ｓパラメータの発明
K.Kurokawa,- Power Waves and the Scattering Matrix
(IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,
Vol.MTT-13, No.2, March, 1965)
注２- 回路のパラメータ表現
佐藤利三郎,- 伝送回路
(コロナ社) ISBN 4-339-00082-5
とかたくさんあります。