群速度の謎

伝送線路を伝搬する電磁波の速度としては、次ぎの２つがよく使われます。

• 位相速度 (phase velocity)
• 群速度 (group velocity)

位相速度は伝送線路を伝搬する 単一正弦波の等位相面の伝搬速度、 群速度 は周波数が僅かに異なる２つの正弦波の合成波形からできる 包絡線の伝搬速度で、 伝送線路の２次定数で表現すると、それぞれ下記のようになります。

  Vp = ω/β                                              (1)
  Vg = dω/dβ                                            (2)
  ここに、
	Vp = 位相速度 (m/s)
	Vg = 群速度 (m/s)
	ω = 2*π*f = 角速度 (rad/m)
	π = 3.14159265.. (円周率)
	f = 周波数 (Hz)
	β = 伝送線路の位相定数 (rad/m)
	dω, dβ = それぞれ、ωとβの微分

分散(dispersion)のない系、すなわち、無損失または無歪で、 位相定数βが周波数に比例している場合は、位相速度と群速度が一致して、 周波数に無関係な定数になります。

一方、多くの書籍(注１)には、

• 情報は群速度で伝搬する
• エネルギは群速度で伝搬する

何故、この疑問が生まれるかを説明するために、 以下、ごく一般的な伝送線路に於ける群速度を考えます。

まず、ヘビサイド(Heaviside)の電信方程式(Telegraphists' Equation)で表現した 伝送線路の位相定数は次のとおりです。

  β = sqrt(0.5*(sqrt((R^2+(ω*L)^2)*(G^2+(ω*C)^2)) + (ω^2*L*C - RG)))    (3)
  ここに、
	R = 線路の抵抗 (Ohm/m)
	L = 線路のインダクタンス (H/m)
	G = 線路のコンダクタンス (S/m)
	C = 線路のキャパシタンス (F/m)

βの周波数特性は簡単とは言えませんが、 ここでは、最も一般的な用途である、高周波領域、つまり、 ω*L/R >> 1 かつ ω*C/G >> 1 の場合を考えます。 この場合は、

  β 〜 ω*sqrt(L*C)*(1 + (R/2/ω/L - G/2/ω/C)^2)                          (4)

  Vp = ω/β 〜 (1/sqrt(L*C)*(1 - (1/2)*(R/2/ω/L - G/1/ω/C)^2)            (5)

非磁性で比誘電率が 1 という理想に近い伝送線路では、

  1/sqrt(L*C) = 1/sqrt(μ0*ε0) = c
  ここに、
	μ0 = 真空の透磁率
	ε0 = 真空の誘電率
	c = 真空中の光速

次に、群速度を求めますが、 ωをβの関数で表現するのは面倒ですから、 逆関数の微分を使って、dβ/dωからdω/dβを求めることにします。 この作戦だと、群速度は、

  dβ/dω 〜 sqrt(L*C)(1 - (1/2)*(R/2/ω/L - G/1/ω/C)^2)                   (6)

  Vg = 1/(dβ/dω) 〜 (1/sqrt(L*C)*(1 + (1/2)*(R/2/ω/L - G/1/ω/C)^2)      (7)

と計算できて、こちらは、1/sqrt(L*C) より大きくて、 周波数の増加とともに 1/sqrt(L*C) に近付くことになります。

つまり、理想に近い伝送線路では、高周波で、 群速度が光速を越えます。

かくて、 もしも、群速度がエネルギや情報の伝搬速度であるとしたら、 ごく簡単な架空線路を用意するだけで、 特殊相対論の間違いが証明できることになるのですが、 はたして、これは世紀の発見になるのでしょうか？

注１

例えば、

  三輪進,- 高周波電磁気学
	(東京電機大学出版局) ISBN4--501-10530-5
  の 139 ページ - 「群速度は信号ないしエネルギの伝搬速度として知られている」

  岩橋榮治,- 伝送工学概論
	(東海大学出版会) ISBN4-486-01292-5
  の 65 ページ - 「群速度は情報の伝搬速度を表す」

  田中勝廣,- 電磁気学計算法
	(日本理工学出版会) ISBN4-89019-129-1
  の 175 ページ - 「空間内を波動のエネルギとなって伝ぱんする速度を群速度(group
  velocity) という」

  松田静男,- 導波伝送基礎理論
	(東海大学出版会) ISBN4-486-01178-3
  の 37 ページ - 「波のエネルギーあるいは信号が伝搬する速度を群速度という.」

  A.P.フレンチ,- MIT 物理 振動・波動
	(培風舘) ISBN4-563-02173-3, (平松惇・安福精一監訳)
  の 210 ページ - 「また波としてのエネルギーの輸送は群速度で行われることがわかる。」

  高村秀一,- 理工学のための電磁気学入門
	(森北出版) ISBN4-627-73441-7
  の 161 ページ - 「(位相速度は)、一般的には波のエネルギーが運ばれてゆく速度、
  すなわち、群速度とは異なる.」

平林 浩一, (C) 2006

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